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精品课程《高等数学》（线性代数部分）电子教案
第十三章 线性规划与数学建模简介
【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时
【授课方法】课堂讲授与提问相结合
【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤；
2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法.
【本章重点】线性规划问题.
【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】
本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题
为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。
§1 数学建模概述
一、数学建模
数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。
二、数学模型的概念
模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、
量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。
通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学 式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。
三建立数学模型的方法和步骤
建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1. 建模准备
建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。
2．模型假设
作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的
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次要因素。有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，
建立相应的模型。
合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。
3．构造模型
在模型假设的基础上，开始构建数学模型。首先分析变量类型，恰当使用数学工具。一般而言，如果实际问题中的变量是确定型变量，数学工具可采用微积分、微分方程、线性或非线性规划、投入产出、确定性库存论等。如果变量是随机变量，数学工具可采用概率与统计、排队论、对策论、决策论、随机微分方程、随机性库存论等。其次，抓住问题本质，简化变量之间的关系。可以说，数学的任一分支在构造模型时都可能有用，而同一实际问题也可以构造不同的数学模型。一般而言，在能够达到建模目的前提下，所用的数学工具应力求简单、易解，但要保证模型的解的精确在允许的范围内。
4．模型求解
不同的模型要选择或设计不同的数学方法和算法求解，许多模型还可以通过编写计算机程序软件包，借助计算机快速完成对模型的求解。
5．模型分析
对模型的求解结果进行分析，主要包括稳定性分析，参数的灵敏度分析，误差分析等。通过分析，若发现不符合建模要求，就要修改或增减建模假设条款，重新构造模型，直到符合要求。若模型符合要求，则可以对模型进行评价是、预测民、优化等方面的探析，力争得到最优模型。
6．模型检验
对于经过分析后符合要求的模型，还要把它放回到实际对象中去进行检验，看它是否符合实际，能否解决相应的实际问题。若不符合实际，就要修改前提假设，重新建模，重新分析，直到获得符合实际的模型。
7．模型应用
建模最终目的，是用模型来分析、研究和解决实际问题。因此，一个成功和数学模型必须能够在实践中得到成功的应用，甚至形成一套科学和理论。图13――1是上述各步骤的直观图：
建模准备 构建模型 建模假设 （分析实际问题 （抽象、简化） 确立课题） 模型求解 模型分析 模型分析 模型应用 （是否相符 （是否相符） 图13――1数学建模步骤示意图
一、 数学模型的分类
数学模型按照不同的分类标准有许多种类：
1．按照模型的数学方法分，有几何模型、代数模型、图论模型、微分方程模型
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概率模型、最优控制模型、随机模型等等。
2．按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等。
3．按模型的应用领域分，有人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4。按建模的目的分，有预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。 5．按夺模型结构的了解程度分，有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
§2线性规划问题及其数学模型
线性规划作为运筹学的一人重要分支，是研究较早，理论较完善，应用最广泛的一门科学。它所研究的问题主要包括两个方面：一是在一项任务确定后，如何以最低限度和成本（如人力、物力、资金和时间等）去完成这一任务；二是如何在现有条件下进行组织和安排，以完成更多的工作。因此，线性规划就是求一组变量的值，使它满足一组线性式子，并使一个线性函数的值最大（或最小）的数学方法。
一、运输问题
例1 设有A1，A2两个香蕉基地，产量分别为60吨和80吨，联合供应B1，B2，B3三个销地的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。两个产地到三个销地的单位运价如下表所示：
表13――1运价表（单位：元/吨）
销地 单位动价 B1 B2 B3 产地
A1 600 300 400
A2 400 700 300
问每个产地向每个销地各发货多少，才能使总的运费最少？
解 （1）在该问题中，所要确定的量是各产地运往各销地的香蕉数量，即决策变量是运输量。设Xij(i=1,2; j =1,2,3)分别表示由产地Ai运往销地Bi的数量。 （2）在解决问题的过程中，要受到如下条件限制，即约束条件： ?各产地运出的数量应等于其产量，即
x x1121?x?x1222?x?x1323?60?80
②各销地运进的数量应等于其当地预测的销售量，即
x11?x21?50 x12?x22?50
x13?x23?40③从各产地运往各销地的数量不能为负值，即
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xij?0(i?1,2;j?1,2,3)
(3)该问题的目的是运价最低，所以运价是目标函数，即
S?600x11?300x12?400x12?400x21?700x22?300x23因此，该问题的数学模型为：求minS?600x11?300x12?400x13?400x21?700x22?300x23
结束条件 x?x?x?60x?x?x?80 x?x?50x?x?50x?x?40111213212223111213212223例1的一般形式是：设某种物资有m个产地
??AA，A，12m产量分别为
a,a,??a12m，,,??,Bn,,??，b3(吨)。有n个销地B1B2,销量分别为b1b2如果由
产地Ai运往销地Bj的单位运价为Cij（元/吨），在产销平衡的情况下，应如何调运才能使运费最省？
解 设xij表示由产地Ai运往销地Bj的数是(i=1,……，m；j=1,2,……，n) 则该问题数学模型为：
求变量xij的一组值，使它们满足 x?x11m112??＋x1n＝a１?...?xmn?am
.......................................
x?x?xx x?x1112m22122?...?xm1?b1?...?xm2?b2......................................xx1nij?x2n?...?xmn?bn?0(i?1,2,...,m;j?1,2,...,n)并使目标函数S?C11x11?C12x12?...?Cmnxmn的值最小。 二、生产组织与计划问题
例2 设某用A1,A2,...,Am种原料，生产B1,B2,...Bm 种产品，其中Bj 种产品每单位需要A1,A2,...Am原粉分别为；而该厂现有原料a1,a2,...,amj；的数量分别为
b,b,...,b,B,B,...,B各种产品每单位可是利润分别为CC,...,C12m12n1,2n 。在该厂产
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品全部能销售情况下，应如何组织生产，才能使该企业获得最大？ 解 设生产产Bj中数量为xj(j?1,2,...,n)，则此问题的数学模型为： 求一组变量 的值，使满足
ax?ax?...?ax?bax?ax?...?ax?b1111221nn12112222nn2..................................... 结束条件 ..........
max?ax?...?ax?bx?0(j?1,...,n)m1j1m22mnn并使目标函数S?C1x1?C2x2?...?Cnxn的值最大。 三、配料问题
例 设有A1,...,Am种原料，配制含有几种成分B1,B2,...,Bn的产品，要求产品中各种成分的含量不低于a1,a2,...an；不高于b1,b2,...,bn；Bj种成分在Ai种原料中的单位含量为，各种原料的单位价格依次为d1,d2,...dm.问如何调配原料，才能使产品符合要求，又使成本最低？
解 设xi表示每单位产品中原料Ai的使用量(即决策变量)，i?1,2,...,m,则数学模型为：
求一组变量的值，使其满足
a?Cx?Cx?...?Cx?ba?Cx?Cx...?Cx?b1111212m1m2121222m2m21 约束条件 ........................................................an?C1nx1?C2nx2?...?Cmnxn?bnx?x?...?x?1x?0,(i?1,...,m)1i2m
并使目标函数S?d1x1?...?dmxm 最小。
二、线性规划问题数学模型的一般形式和标准形式
上面我们建立了经济领域中常见的实际问题的数学模型，尽管这些实际问题本身是多种多样的，但是它们的数学模型却具有相同的特征：要确定某些变量(决策变量)的一组值，使得在确定的确定的约束条件下，目标函数是取得最大值或最小值。其中，约束条件是决策变量的线性方程或线性不等式。目标函数是决策变量的线性函数。因此，我们把这种规划问题称为线性规划问题。同时，我们可以得到对于一个线性规划问题，其数学模型应具有如下形式：
求max(或min)S?C1x1?C2x2?Cnxn
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