内容发布更新时间 : 2024/6/14 11:55:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第十章 重积分（练习二）
一．
（§10.2 二、 极坐标计算法 ；§10.3 三重积分 一、直角坐标下） 填空题
1． 设?:x2?y2?z2?1，由条件0?x4?y4?z4?1，则有不等式：
2?dv?????______________________________。 4443?1?x?y?z2． 设D由x?y?y2，x?2y?y2，y?x，y?3x围成，则??f(x,y)d?D在极坐标下的二次积分为______________________________________。 3． 积分I???Df(x,y)dxdy D:x2?y2?a2(a?0)化为极坐标下的二次积分为
____________________________________。
4． 三重积分
I????f(x,y,z)dxdydz,?是由曲面z?x2?y2与z?1所围成区域
化成先对z再对y最后对x的累次积分为三次积分为_______________________。 二． 选择题 1．二次积分（A）(C)
????2 0 ?d?? cos? 0f(rcos?,rsin?)rdr可以写成（ ）
1 1-y2 0 0 1?dx? 0 1 y-y2 0f(x,y)dx； （B）?dy?f(x,y)dx；
?dx? 0 1 x-x2 0f(x,y)dy； (D)
? 1 0dx?f(x,y)dy。
02．再极坐标下，与二次积分 （A） (C)
? 0 ?Rdx?R2?x2 -R2?x2f(x,y)dy相等的是（ ）
3?2 R R? ? 0 ?d??rf(rcos?,rsin?)dr ； （B）??d??rf(rcos?,rsin?)dr
R R 2? 0d??rf(rcos?,rsin?)dr； (D)
0 R?? 3?22d??rf(rcos?,rsin?)dr
0 R3．在极坐标下，二次积分 （A）
? ?2 ? ?2d??rdr= （ ）
0 1??； (B) ； （ C）0 ； （D）? 424．若D?? (x,y)|x2?y2?4 ?，则二次积分??(x2?y2)dxdy= （ ）
（A） 2?； （B）4?； （C）8?； （D）6?
- 36 -
D5、I?????f(x2?y2?z2)dxdydz,?是由|x|?b,|y|?b,|z|?b所围成正方体， f(3x2)dv （B）I?3???f(x2)dv
dx?dy?f(x2)dz (D). I?8?dx?dy?f(x2?y2?z2)dz
00000aa则I?（ ） （A）I?????（C）I?3?a?aaa0三、计算题
1． 化下列积分为极坐标形式下的二次积分并画出积分区域， I?? 1dx?f(x,y)dy
1
2． 利用极坐标计算下列各题 （1）、I?? 1 x22?12 0dx? x2(x?y)dy
（2）、I???ex2?y2dxdy D:x2?y2?9;
D
- 37 -
0 0
（3）、I?
3. 计算I?
4、化三重积分I???Dx2?y2dxdy D: 4?x2?y2?9;
???xdxdydz，其中?是三个坐标面及平面x?y?z?1所围成空间闭区域。
????f(x,y,z)dv为三次积分，
?222其中?由曲面z?x?2y及平面z?2?x围成闭区域；
- 38 -
5、 计算I?域。
四．
D???xzdxdydz,其中?由z?0,z?y,y?1及抛物柱面y?x?2围成闭区
计算（由对称性只须在第一象限计算）
I???|xy|dxdy D:x2?y2?R2(R?0);
五．（选做题）计算I?奇偶性）
- 39 -
222| z|其中?:x?y?z?1（答案：2?，可考虑对称性edv????
第十章 重积分（练习三）
（第三节 三重积分：利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分；第四节 重积分应用） 一． 填空
1．设均匀薄片的面密度为?，它占xoy面上的闭区域为D，则该薄片的质心坐标为
__________________________________________________________。
222．设?是球面x2?y2?z2?4(z?0)与锥面z?3(x?y)所围成的空间区域，
f(x,y,z)是?上的连续函数，在球面坐标系下把积分化为三次积分为：
???f(x,y,z)dv=__________________________________________________。
?3． 设有一物体占空间闭区域?:0?x?2,0?y?2,0?z?2，在点(x,y,z)处的密度为?(x,y,z)?x?y?z，则该物体的质量为____________________________。 二． 选择题 1． 曲面x2?y2?z2?2z 之内及曲面 z?x2?y2之外所围立体的体积V=( ) (A) ( C )
2? 1 1?r2? 0d??rdr? 0 r2dz （B）? 2? 0d??rdr? 0 r1— 1?r2 1dz
? 2? 0d??rdr? 02 1 1—r r2dz (D).
22? 2? 0d??rdr? 0? 1 r2 1—1—r2dz
2． 设?为半球域x?y?z?1,z?0,则 (A) (C).
???zdv=( )
? 2? 0? 2? 0d???d??rsin?dr； （B）? 2 0 ? 12d??2d??r3sin?cos?dr
0 0 1? 2? 0d???d??r3sin?cos?dr； （D）? 2 0 ? 1 2? 0d??d??r3sin?cos?dr
0 0 ? 1x2?y23．旋转抛物面z?1?在1?z?2那部分的曲面面积S= （ ）
2 （A）（C）.
x2?y2?2??1?x2?y2dxdy； （B）
x2?y2?2??1?x2?y2dxdy；
x2?y2?4??1?x2?y2dxdy
三． 计算题 1．I?
2222?，由曲面及z?2围成闭区域（用柱面坐标） 2z?x?y(x?y)dxdydz????
- 40 -