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2-3-3列不定方程解应用题

教学目标

1、 熟练掌握不定方程的解题技巧

2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明 历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤

1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的

例题精讲

模块一、不定方程与数论

【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求

这两个数．

【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：

甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？

2-3-3.列不定方程解应用题.题库 学生版 page 1 of 6 【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？

【例 2】 （2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数

字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.

模块二、不定方程与应用题

【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这

些油桶．问：大、小油桶各几个？

【例 4】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他

们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？

【巩固】 某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环

各几发？

1【例 5】 某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有的成

3人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？

1【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男

3职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？

【例 6】 张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人

20天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？

【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小

花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？

2-3-3.列不定方程解应用题.题库 学生版 page 2 of 6 【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配

件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？

【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生

产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？

【例 8】 有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现

在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了 天．

【例 9】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师

共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．

【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师

共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．

【巩固】 每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车

都装满，需要大、小汽车各几辆？

【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，

鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？

【例 10】 （1999年香港保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）一个家具店在1998年总共卖了213张床．起

初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床．问：他们共有多少个月是卖出25张床？

【例 11】 (2008年“希望杯”第二试试题)五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、

C、D、E五个小组．若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．

【例 12】 （2008年全国小学生“我爱数学夏令营”数学竞赛）将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且

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