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内容发布更新时间 : 2024/11/1 7:05:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 极限、连续与间断

本章主要知识点

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求极限的几类主要题型及方法 连续性分析 间断判别与分类

连续函数的介值定理及应用

一、求极限的七类题型

这里介绍前五类,后两类在相应的章节(洛必达法则,变限积分)再作相应介绍。

(1)题型I limPm?x?

x???P?x?n 方法:上下同除以x的最高次幂 例.lim3x?1?3x?1x?1?x?1x??

解:原式=lim3x?1?3x?1x?1?x?123?=limx??x??11?3?xx=3 111??1?xx例.lim(4x?x?1?2x)

x???解:原式=lim?x?14x?x?1?2x2x???=limx???11x=? 4114??2?2xx?1?4x?3x?2x例.limx

x???4?3x?2x311?()x?()x42=1 解:原式=limx???311?()x?()x42(2)题型II limx?apm(x) pn(x)pm(a)?,?pn(a)??原式=??,?上下分解因式(或洛比达),???例.limpn?a??0pn(a)?0,pm(a)?0 pn(a)?pm(a)?0x?1x?16x?13

u3?1(u?1)(u2?u?1)3?lim解:令u?x,原式=lim2=

u?1u?1u?1(u?1)(u?1)2ax2?2x?b?2 例. lim2x?1x?3x?2解:a+2+b=0,

ax2?2x?(a?2)(x?1)(ax?a?2)?lim??2a?2?2 原式=lim(x?1)(x?2)(x?1)(x?2) a=2,b=-4 (3)题型III

若limf(x)?0,g(x)有界?limf(x)g(x)?0

x?ax?a例. limx2arccot(sin(x?1))

x???x2?3x2=0,而arccot(sin(x?1))有界,所以 原式=0。 2x???x?32解:因为 lim例.limln(1?tanx)cos()

x?02x解:因为 ln(1?tanx)?0(x?0),cos()有界,所以 原式=0.

22x例.limx???x?xsin2006(sin(2006x))

x?11?x1?1x1x3解 因为 limx??x?x?limx??x?1?0,sin2006(sin(2006x))有界;原式=0。

1(4)题型IV lim(1uu?0?u)?e

识别此类题型尤为重要,主要特征为1?未定式.步骤如下: 例.limx?23x?2x??(x?1) ?3?x?1??解:原式=lim(1??3(3x?2)=???3?1??3??x?1(3x?2)x??x?1)limx??

?x?????1???=exlim?3(3x?2)??x?1?e?9.

例.limx2?5x?12xx??(x2?2x?3)?1 ?3x?2?2?3xx2?2x?3?2x?3(2x?1)解:原式=lim??3x?2??x?3x?2)(2x?1)x???????=exlim(??x2?2x?3?e?6

??1??2?x2?2x?3????1例.lim2xx?0(1?xsinx)

??1?x2sin(x)1x解:原式=limx?0??(1?x2sinx)x2sinx??1

????(5)题型V 等价无穷小替换

替换公式:(x?0)1?cosx~12x2 arcsinx~x arctanx~x n1?x?1~1nxex?1~x

替换原则:乘除可换,加减忌换。

例.limsinx?xx?0x3

错解:limx?xx?0x3=0

例.limln(1?2x)sin(5x)x?0x2

e2?1解:原式=lim?2x?5xx?0x2=-20 2ln(1?x)~x