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2009年高考数学难点突破专题辅导十三

难点13 数列的通项与求和

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.

●难点磁场

(★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

(1)写出数列{an}的前3项.

(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)

a1a(3)令bn=(n?1?n)(n∈N*)，求lim (b1+b2+b3+…+bn－n).

2anan?1n??●案例探究

［例1］已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有

cc1c1????n=an+1成立，求b1b2cnn??

lim

S2n?1. S2n命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.

错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.

技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}，运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣.

解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2， ∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，

∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，

b3(q?2)22∴=q，由q∈R，且q≠1，得q=－2， ?2b1q∴bn=b·qn1=4·(－2)n1

－

－

(2)令

cn=dn，则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*), bn∴dn=an+1－an=2, ∴

cn8－

=2,即cn=2·bn=8·(－2)n1；∴Sn=［1－(－2)n］. bn3S2n?11?(?2)?S2n1?(?2)2n2n?1∴

1(?)2n?2S?2,lim2n?1??2

1n??S2n(?)2n?12［例2］设An为数列{an}的前n项和，An=

3 (an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3; 2(1)求数列{an}的通项公式；

(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;

(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和；Dn为数列{dn}的前n项和，Tn=Br－Dn，求lim

n??

Tn. (an)4命题意图：本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.

知识依托：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.

错解分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清.

技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解.

解：(1)由An=∴an+1－an=

33(an－1)，可知An+1=(an+1－1)， 22a33 (an+1－an)，即n?1=3，而a1=A1= (a1－1)，得a1=3，所以数列是以3

an22为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n.

2n12nn?1

(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C1(－1)+…+C22n·42n·4·(－1)+(－1)］

－

=4n+3，

n?1∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4－1)2n=42n+C142n1·(－1)+…+C24·(－1)+(－1)2n=(4k+1)， 2n·2n·

－

∴32n?{bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1. (3)由3

2n+1

32n?1?3=4·r+3，可知r=，

4r(7?4r?3)32n?1?332n?1?72727n?r(2r?5)??,Dn??(1?9n)?(9?1)， ∴Br=

2421?9892n?1?4?32n?1?2127n?Tn?Br?Dn??(9?1)889113 ??34n??32n?,(an)4?34n,884T9?limn4?n??(an)8●锦囊妙计

1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.

?S1,n?12.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an=?

S?S,n?2n?1?n3.求通项常用方法

①作新数列法.作等差数列与等比数列.

②累差叠加法.最基本形式是：an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1. ③归纳、猜想法.

4.数列前n项和常用求法 ①重要公式

1n(n+1) 2112+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)

6113+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2

41+2+…+n=

②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.

③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：

1111??,n?n!?(n?1)!?n!,?ctgα?ctg2α,n(n?1)nn?1sin2?

111?1r?1rCn?Cn?Cn,??等n(n?1)!n!(n?1)!④错项相消法 ⑤并项求和法

数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法. ●歼灭难点训练 一、填空题

1.(★★★★★)设zn=(则limSn=_________.

n??

1?in

)，(n∈N*)，记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，22.(★★★★★)作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在