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唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试
文科数学参考答案
一．选择题：
A卷：ACDBD CBCDA AC B卷：ACDCD CBCDA AB 二．填空题：
1
（13） （14）2 （15）1 （16）(3，2]
2
三．解答题： 17．解：
（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），则an＝a1＋(n－1)d． 因为a2，a3，a5成等比数列， 所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)， 化简得，a1d＝0， 又因为d≠0， 所以a1＝0， …3分 又因为a4＝a1＋3d＝3， 所以d＝1．
所以an＝n－1． …6分
n－1
（2）bn＝n·2， …7分
－
Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n1， ① 则2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ． ② ①－②得，
－
－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n1－n·2n， …8分
n
1－2＝－n·2n …10分 1－2
＝(1－n)·2n－1． 所以，Tn＝(n－1)·2n＋1． …12分 18．解：
1
（1）-x甲＝(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；
101-x乙＝(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7； 10
…4分
2
（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率
5
3
为，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润： 5
23
w甲＝300××30＋300××20＝7200元； …7分
55
1
应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，故采用乙工艺生产该零件每
2
天取得的利润：
11
w乙＝280××30＋280××20＝7000元． …10分
22
因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高． …12分 19．解：
P （1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2， D为AC的中点， ∴BD⊥CD，
又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B， C ∴CD⊥平面PBD， D 又因为PD?平面PBD， ∴PD⊥CD． …5分 A B （2）∵AD⊥BD， ∴PD⊥BD．
又∵PD⊥CD，BD∩CD＝D， ∴PD⊥平面BCD． …8分 在直角三角形ABC中，AB＝BC＝2， 所以PD＝AD＝2，PB＝PC＝BC＝2． S△ABC＝2，S△PBC＝3，
设A点到平面PBC的距离为d， 由VP-ABC＝VA-PBC得， 11
S△ABC×PD＝S△PBC×d， 33
S△ABC×PD26∴d＝＝．
3S△PBC
26
即A点到平面PBC的距离为． …12分
3
20．解：
（1）设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?y＝kx＋m，由?2得，x2－2kx－2m＝0， ?x＝2y
?＝4k2＋8m，
x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m， …2分 因为AB的中点在x＝1上， 所以x1＋x2＝2． 即2k＝2， 所以k＝1． …4分
2|m|m（2）O到直线l的距离d＝，|CD|＝212－， …5分
22
所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝22·1＋2m， …6分
因为|AB|＝|CD|,
m2所以22·1＋2m＝212－，
2
2
化简得m＋8m－20＝0，
所以m＝－10或m＝2． …10分
??＞0，1由?得－＜m＜26．
2?d＜23
所以m＝2，
直线l的方程为y＝x＋2． 21．解：
（1）f?(x)＝2(lnx＋1)．
所以当x∈0，当x∈
…12分 …1分
(
1
时，f?(x)＜0，f(x)单调递减； e
)(1，＋∞)时，fe
?(x)＞0，f(x)单调递增．
112
所以x＝时，f(x)取得最小值f＝1－．
eee
()
…5分
1
（2）x2－x＋＋2lnx－f(x)
x
x－1
＝x(x－1)－－2(x－1)lnx
x1
＝(x－1)x－－2lnx，
x
(
)
2
…7分
112(x－1)
令g(x)＝x－－2lnx，则g?(x)＝1＋2－＝≥0，
xxxx2
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为g(1)＝0，
所以当0＜x＜1时，g(x)＜0； 当x＞1时，g(x)＞0， 1
所以(x－1)x－－2lnx≥0，
x
…10分
(
)1
即f(x)≤x2－x＋＋2lnx．
x
…12分
22．解：
π
－4＝0得， 4
ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0． 所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．
曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6．
22
（2）将直线l的参数方程代入x＋y－2x－2y－4＝0并整理得， t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，
t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4＜0． （1）由ρ2－22ρsinθ＋
(
) …5分
||OA|－|OB||＝||t|－|t||＝|t＋t|＝|2(sinα＋cosα)|＝|2
1
2
1
2
2sinα＋
(
π4
)| ππ5π
因为0≤α＜?，所以≤α＋＜，
444