内容发布更新时间 : 2024/5/17 20:08:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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函数的基本性质（基础）
【考纲要求】
1. 会求一些简单函数的定义域和值域；
2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】
函数的基本性质 奇 偶 性
单 调 性
周 期 性
【考点梳理】
1．单调性
（1）一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x1,x2，当x1?x2时，若都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数在区间D上单调递增，若都有f(x1)?f(x2)，
那么就说函数在区间D上单调递减。
（2）如果函数y?f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y?f(x)在这一区间具有严格的单调性，区间D叫做y?f(x)的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设x1,x2?D，且x1?x2；②作差f(x1)?f(x2)；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断f(x1)?f(x2)的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法
u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是单调函数，设y?f(u)，则y?f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，
其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减
性相反，复合函数为减函数。如下表：
u?g(x)
增 增
y?f(u)
增 减
y?f[g(x)]
增 减
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减 减
导数证明法
增 减
减 增
设f(x)在某个区间(a,b)内有导数f'(x)，若f(x)在区间(a,b)内，总有f'(x)?0(f'(x)?0)，则；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数（减函数），则f(x)在区间(a,b)上为增函数（减函数）
f'(x)?0(f'(x)?0)。
图像法
一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.
理解：
(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.
(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:
①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化
①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ?f(?x)=-1 (f(x)≠0) f(x)f(?x)=1 (f(x)≠0) f(x)②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ? (2)奇(偶)函数图像的特征
(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称. 【典型例题】
类型一、求（判断）函数的单调区间 例1.证明函数f(x)?x?解：设a?x1?x2，
a(a?0)在区间(a,??)是增函数。 x22aaxx?ax1?x1x2?ax2 f(x2)?f(x1)?x2??x1??21x2x1x1x2资料来源于网络 仅供免费交流使用
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?x1x2(x2?x1)?a(x2?x1)(x2?x1)(x1x2?a)?
x1x2x1x2?a?x1?x2 ?x2?x1?0
x1x2?a ?f(x2)?f(x1)?0
?函数f(x)?x?a(a?0)在区间(a,??)是增函数。
x举一反三：
【变式】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)y?解：(1)?y??11 (3)y?2. ；2x?1x?x?1(x??1)画出函数图象，
??x?1(x??1)∴函数的减区间为???,?1?，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为???,???,???，设u?2x?1,y???1?2??1?2??11
，其中u=2x-1为增函数，y?在(-∞，0)uu
与(0，+∞)为减函数，则y?11??1??在???,?,?,???上为减函数； 2x?1?2??2?(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，y?1单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). x22
类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例2. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a-a+1)与f()的大小. 解：
34133a2-a+1=(a-)2+?>0
2442又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则f(a-a?1)?f(). 例3. 已知二次函数f(x)=x-(a-1)x+5在区间(
2
341
求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2),1)上是增函数，
2
的取值范围.
解：(1)∵对称轴x?只需
a-1是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 2a-11? ?a?2； 222
(2)∵f(2)=2-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7
?f(2)??7,+??.
举一反三：
?2?,x?2【变式】已知函数f(x)??x，若关于x的方程f(x)?k有两个不同的实根，则实数k的
?(x?1)3,x?2?资料来源于网络 仅供免费交流使用