内容发布更新时间 : 2025/6/14 17:07:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
A级：基础巩固练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x＋1，则在x0＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 C．0.43 答案 B
解析 ∵x0＝2，Δx＝0.1，
∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝f(2.1)－f(2)＝0.41.
2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
B．0.41 D．0.44
2
A．1 C．2 答案 B 解析
Δyf＝Δx－f3－1
＝1－3
＝－1. 2
2
B．－1 D．－2
3．一质点运动的方程为s(t)＝5－3t(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 m/s C．6 m/s 答案 D
解析 当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度为－6 m/s. 4．函数f(x)可导，则lim
Δx→0
B．3 m/s D．－6 m/s
f＋Δx－f3Δx等于( ) B．不存在 D．以上都不对
A．f′(1) 1
C．f′(1) 3答案 C
- 1 -
解析 lim
Δx→0
f＋Δx－f3Δx1f＝×lim 3
Δx→0
2
＋Δx－f1＋Δx－11
＝f′(1)． 3
5．质点M的运动规律为s＝4t＋4t，则质点M在t＝t0时的瞬时速度为( ) A．4＋4t0 C．8t0＋4 答案 C
ΔsΔs2
解析 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)＋4Δt＋8t0Δt，＝4Δt＋4＋8t0，lim
ΔtΔtΔt→0
B．0 D．4t0＋4t0
2
＝lim (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
Δt→0
6．函数f(x)＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是( )
A．k1
Δyf2
解析 ∵y＝f(x)＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝ΔxB．k1>k2 D．不确定
2
x0＋Δx－fx0
Δxx0＋Δx＝
Δx＝
2
－x0
2
Δy2
＝2x0＋Δx＝k1，又∵y＝f(x)＝x在x0－Δx到x0之间的平均变化率为
Δxfx0－fx0－Δx＝
Δxx2x0－Δx0－
Δx2
＝2x0－Δx＝k2，又∵k1－k2＝2Δx，而Δx的符号不能确定，故k1，k2
大小不确定，选D．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________. 答案 3
解析 f(x)在[1,8]上的平均变化率为
2
f－f8－18a＋b－a－b＝＝a＝3.
7
8．一物体的运动方程为s＝7t－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________. 答案 1
解析 ∵Δs＝7(t0＋Δt)－13(t0＋Δt)＋8－7t0＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)，
Δs∴lim ＝lim (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1.∴t0＝1.
ΔtΔt→0Δt→0
2
2
2
- 2 -
9．已知函数y＝f(x)＝1
答案 －
2
1
x，则f′(1)＝________.
解析
－1
1＋Δxf′(1)＝lim
Δx→0
f＋Δx－fΔx＝lim
Δx→0
－11＋Δx＝lim
ΔxΔx→0
1
1＝－. 2＋1＋Δx三、解答题
10．若函数f(x)＝2x＋4x在x＝x0处的导数是8，求x0的值． 解 根据导数的定义：
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝[2(x0＋Δx)＋4(x0＋Δx)]－(2x0＋4x0) ＝2(Δx)＋4x0Δx＋4Δx， Δy∴f′(x0)＝lim ＝lim
ΔxΔx→0
Δx→0
2
2
2
2
Δx2
＋4x0Δx＋4Δx Δx＝lim (2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4.
Δx→0
∴f′(x0)＝4x0＋4＝8，解得x0＝1.
B级：能力提升练
11．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t＋30t＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)分别表示什么； (2)求第1 s内高度的平均变化率；
(3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．
解 (1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度． Δhh(2)＝Δt－h1－0
＝80(m/s)，即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s.
＋Δt－hΔt 3
2
Δhh(3)h′(1)＝lim ＝lim
ΔtΔt→0
2
Δt→0
＝lim [5(Δt)＋45Δt＋120]＝120，即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s.
Δt→0
它说明在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加．
12．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝10
x - 3 -