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第21章 一元二次方程章末回顾（胡雯雯）

一. 本章思维导图.

二.典型例题.

例1.用适当方法解下列一元二次方程. 1.（2x＋1）2=2x＋1．

【知识点】解一元二次方程－因式分解法. 【解题过程】解：∵（2x＋1）2－（2x＋1）=0， ∴（2x＋1）（2x＋1－1）=0，即2x（2x＋1）=0， 则x=0或2x＋1=0，

1解得：x1=0或x2=?．

2【思路点拨】因式分解法求解可得．

1【答案】x1=0或x2=?．

22. x2－4x＋1=0

【知识点】解一元二次方程－配方法. 【解题过程】解：∵x2－4x＋1=0， ∴x2－4x=－1，

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∴x2－4x＋4=4－1， ?（x－2）2=3， ?x?2??3， ∴x?2?3，

解得x1?2+3，x2?2－3．

【思路点拨】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【答案】x1?2+3，x2?2－3． 3. 4x2－3=12x

【知识点】解一元二次方程－公式法.

【解题过程】解：原方程整理为：4x2－12x－3=0， ∵a=4，b=－12，c=－3，

∴?=144－4×4×（－3）=192＞0， 则x=12?1923?23=． 82【思路点拨】利用公式法求解可得． 【答案】x?3?23 24. x2＋x－2=0．

【知识点】解一元二次方程－因式分解法.

【解题过程】解：分解因式得：（x－1）（x＋2）=0， 可得x－1=0或x＋2=0， 解得：x1=1，x2=－2．

【思路点拨】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【答案】x1=1，x2=－2．

例2.关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

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（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【知识点】根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理. 【解题过程】解：（1）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2－4（a＋c）（a－c）=0， ∴4b2－4a2＋4c2=0， ∴a2=b2＋c2，

∴△ABC是直角三角形； （2）∵当△ABC是等边三角形， ∴a=b=c，

∵（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）=0， ∴2ax2＋2ax=0， ∴x1=0，x2=－1．

【思路点拨】（1）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （2）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）x1=0，x2=－1．

例3. 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．

（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？

（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的

31，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值． 410【知识点】一元二次方程的应用.

【解题过程】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元； 根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100， 解得：x≥25．

答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；

（2）设5月20日猪肉总销量为1，则5月21日两种猪肉的总销量为1+a%.

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