内容发布更新时间 : 2024/5/15 14:11:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 集合与命题

一．集合：

1． 概念及符号的使用.：集合、元素，属于，自然数集，整数集，有理数集，实数集，

有限集、无限集；空集，列举法、描述法、子集，包含（包含于），图示法，文氏图，真子集，真包含（真包含于），、交集，并集，全集，补集。 2． ?，?的比较 ：元素与集合间关系用?,?；集合与集合间关系用?，?类；

3． 交集，并集，补集的比较 文字语言 符号语言 交集 并集 补集 图形语言 （文氏图） 4． 关于子集的等价关系：A?B?A5． 集合的运算性质：

① AB?BA ，A② (A B?A?AB?B?CB?U UAA

B=BB)C=A(BC) ， (AB)C=A(BC)

③ CU(A④ AB)=CUACUB, CU(AB)?CUACUB

A?A A??? A??A

A?A A6．有限集的元素个数 有限集A的元素的个数记为card( A)，规定 card(φ) =0.

基本公式：

（1）设有限集合A, card(A)=n,则

(ⅰ)A的子集个数为2；

n

(ⅱ)A的真子集个数为2?1；

n

(ⅲ)A的非空子集个数为2?1；(ⅳ)A的非空真子集个数为2?2.

nn

（2）设有限集合A、B、C，card(B)=m, card(A)=n， m

n?m (ⅰ) 若B?C?A,则C的个数为2；

n?m?1； (ⅱ) 若B?C?A,则C的个数为2⑶ 容斥原理：card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．

二．四种命题形式及关系

?互逆 原命题

1． 概念： 2. 若p则q 互 命题，真（假）命题 互 为

为 互 逆命题，否命题，逆否命题

? 逆 否逆 等价命题 否

否

否命题

互 逆 若p则q

逆命题

若q则p

互 ? 否逆否命题

若q则p

2.一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况： 原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 假 假 ３．常用词语的否定： 正面词语 等于 小于 大于 是 都是 否定 不等于 不小于（大于或等于） 不大于（小于或等于） 不是 不都是（至少有一个不是） 正面词语 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定 某个 某些 至少有两个 一个也没有 三．充要条件

1．若???，则称?是?的充分条件，也即?是?的必要条件； 若???，则称?是?的充要条件；

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若p?q ,但q ?? p，则p是q的充分但不必要条件； ②若q?p，但p ?? q，则p是q的必要但不充分条件； ③若p?q，且q?p，则p是q的充要条件；

④若p ?? q，且q ?? p，则p是q的既不充分也不必要条； ★要点：看清题目问的是:谁是谁的什么条件

2．子集与推出关系 ： 设A,B是非空集合，

A=x|x具有性质?, B=y|y具有性质?,则A?B与???等价。

四．例题

例1 ．下列关系式：（1）a??a?;(2)

???????a?;(3) ?a???a,b?;(4) ?a???a?;(5)???a,b?;

(6) a??a,b,c?，（7）???0?，⑻ 0??；中正确的是_________________ 例2 ．关于数集： ⑴ Z⑸CR(Q??Z??Z,⑵CRQQ?R, ⑶N??Z?, ⑷Z??Q?,

Q?)??0?, ⑹ NZ

QR；其中正确的是_________________

例3．对集合A.B,定义A?B?xx?A且x?B，若M??1,3,5,7,9?,N??3,4,5,6?, 则集合M?N子集的个数是＿＿＿＿.

??例4．设集合A??x|?1?x?2?，

B??x|x?a?，

① 若A?B??，则a的取值范围是＿＿＿＿ ② 若A③ 若AB??，则a的取值范围是＿＿＿＿ B?A，则a的取值范围是＿＿＿＿

??ｘ?－１或ｘ＞４ｘ ? ３或ｘ＜－２?例5．一同学解某不等式组得到??ｘ＞－５22，则该不等式的解集是＿＿＿＿

例６．⑴ 写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题 ⑵ 对实数a．b，若a?b?0，则a=b=0，写出该命题的逆否命题． 例７．若a能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除 例８．⑴．a2＝ａ是ａ?0的（ ）条件．

A.充分不必要 Ｂ．必要不充分 Ｃ．充要 Ｄ．既不充分也不必要 ⑵．已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必

要条件,下列命题 ①s是q的充要条件． ②p是q的充分而不必要条件. ③r是q的必要而不充分条件. ④p是s的必要而不充分条件．⑤r是s的必要而不充分条件．中正确的是（ ）．

例9．设?：1?ｘ＜5, ?:2ｍ+1?x?ｍ+4,m?R,?是?的必要条件,求m的取值范围． 例１０．小故事：

三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？ 练习．

１．已知M?x?R|x?22，a??，则下列四个式子 ①a?M； ② ?a?2

??M；③ a?M； ④ ?a??M??，其中正确的是

(A)①② (B)①④ (C) ②③ (D)①②④ （ ）2．如果集合U??1,2,3,4,5,6,7,8?，A??2,5,8?，B??1,3,5,7?，那么(

UA)?B等于

1,3,4,5,6,7,8? (C) ?2,8? (D) ?1,3,7? （ ）(A)?5? (B) ?