内容发布更新时间 : 2024/5/15 7:36:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

初一数学竞赛讲义

重难点有效突破

知识点梳理及重点题型举一反三练习

专题01 质数那些事

阅读与思考

一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：

关于质数、合数有下列重要性质：

1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．

3．若质数

|

，则必有

|或

|

．

4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：

N= )．

正整数N的正约数的个数为(1＋＋

)(1＋

＋…＋

)…(1＋

)(1＋＋…＋

)…(1＋)．

)，所有正约数的和为(1＋

＋…

，其中

，

为质数，

为非负数(=1，2，3，…，

例题与求解

【例1】已知三个质数

，，满足

＋

＋＋

=99，那么

的值等于_________________．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出

，

，的值．

【例2】若

为质数，

＋5仍为质数，则

＋7为( )

A．质数 B．可为质数，也可为合数 C．合数 D．既不是质数，也不是合数

(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．

【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．

(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．

【例4】⑴ 将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数一定是合数．

⑵ 若

是大于2的正整数，求证：

－1与

，求证：

＋1中至多有一个质数．

⑶ 求360的所有正约数的倒数和．

(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明

－1与

＋1中必有一个

是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．

【例5】设和是正整数，≠

整除

，是奇质数，并且或

，不妨设

，求＋的值．

解题思想：由题意变形得出．由质数的定义得到2－1=1

或2－1=

．由≠及2－1为质数即可得出结论．

【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．

(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．

能力训练

A级

1．若

，，，为整数，

=1997，则

自然数中，已知共有)=__________．

，则

的最小值为__________．

=________．

2．在1，2，3，…，这个个偶数，则(

3．设

－

)＋(

－

个质数，个合数，个奇数，

，为自然数，满足1176=

(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知

是质数，并且

＋3也是质数，则

－48的值为____________．

(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( ) A．4 B．8 C．12 D．0 6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )

A．1个 B．3 个 C．5个 D．6 个

(“希望杯”邀请赛试题)

8．设

，

，都是质数，并且

＋

=，

<

．求

．