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原子物理学习题解答
第一章 原子的基本状况
'
1.1 若卢瑟福散射用的?粒子是放射性物质镭C 放射的，其动能为 7.68 ?106 电子伏
?
特。散射物质是原子序数 Z ? 79 的金箔。试问散射角? ? 150所对应的瞄准距离b多大？
解：根据卢瑟福散射公式：
??
c o t ? 4 ? ? 0
2
得到：
M v
2
2 Z e 2
b ? 4 ? ? 0
K ??
Z e 2
?
b
?7 9 ? (1 .6 0 ? 1 01 9 ) 2 ctg 1 5 0Ze2ctg ??2 ? 1 5 2
? 3 .9 7 ? 1 0 b ????米 ? 1 2 6 ? 1 9
4?? 0 K ??( 4? ? 8 .8 5 ? 1 0 ) ? (7 .6 8 ? 1 0? 1 0)
1
式中 K Mv 是? 粒子的功能。 ? ? 2 2
1.2 已知散射角为? 的?粒子与散射核的最短距离为
1 r m ??(
4 ? ??
0
2
2 Z e 1 ( 1 ??)
M v 2 s i n
??2
) ，试问上题?粒子与散射的金原子核
之间的最短距离rm 多大？
解：将 1.1 题中各量代入rm 的表达式，得：
rm i n
2
1 2 Z e 1 ) ??((1 ??) 2??4? ? 0 Mv s i n 2 ?
? 9 ? 1 0 ??
9
) 1 ? (1 ??) ?6 ? 1 9
7 .6 8 ? 1 0 ? 1 .6 0 ? 1 0 sin 7 5?9 ? (1 .6 0 ? 1 0 4 ? 7
? 1 9 2
? 3 .0 2 ? 1 0 ? 1 4 米
1.3 若用动能为 1 兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可
能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个 ?e电荷而质量是质子的 两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？
?
解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180。当入射粒子的动能全部转化为两
粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：
1
M v 2 ? K 2
9
p
Ze 2
??
4 ?? 0 r m i n
r m i n ，故有：
Z e 2
??
4 ? ? 0 K
p
? 1 9 2
7 9 ) ? (1 . 6 0 ? 1 0
? 1 . 1 4 ? 1 0 ? 1 3 米 ? 9 ? 1 0 ??6 ? 1 9
1 0 ? 1 . 6 0 ? 1 0
由上式看出：rmin 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代 替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为1.14 ?10
7
?13
米。
?7
1.4 钋放射的一种?粒子的速度为1.597 ?10米/秒，正面垂直入射于厚度为10米 、 密度为1.932 ?10公斤/ 米的金箔。试求所有散射在? ? 90的?粒子占全部入射粒子数
4 3 ?
的百分比。已知金的原子量为197 。
解：散射角在? ? ? ? d? 之间的?粒子数dn与入射到箔上的总粒子数 n 的比是：
d n ? N td ??n
其中单位体积中的金原子数： N ? ? / mAu ? ? N0 / AAu
dn 而散射角大于 900 的粒子数为：
'
d n
所以有： n
'
? ? dn ? nNt?? d????
2
??N t ? ???? d ??
2 N 0 2 ? 1 Ze 2 1 8 0 ??) ? 9 0 ??? ? t ? ( ) 2 ? (
AA u 4 ?? 0 M u 2
2
??
c o s 2 d??
? s i n 3 ?2
?? ? ?cos d sin 180 ?? 180 ?? 22 I ? ?90??d? ? 2 ?90??? 1等式右边的积分： 3 ?? 3??sin sin 2 2
故
' 2
?Nd n 1 2 Z e 2
?? 0? t ? ( ) ) 2 ? ( 2Mu n A Au 4? ??0
? 8 . 5 ? 1 0 ? 6 ? 8 . 5 ? 1 0 ? 4 0 0 7
即速度为1.597 ?10米 / 秒 的?粒子在金箔上散射，散射角大于 90? 以上的粒子数大约是
?4 0 8.5 ?10 0 。
?1.5 ?粒子散射实验的数据在散射角很小（? ? 15）时与理论值差得较远，时什么原
因？
答：?粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而? 粒子通过金属箔，经过
好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的? 角，那是多次小角散射 合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，? 粒 子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。
1.6 已知? 粒子质量比电子质量大 7300 倍。试利用中性粒子碰撞来证明：?粒子散射“受 电子的影响是微不足道的”。
证明：设碰撞前、后?粒子与电子的速度分别为：v , v', 0, v。根据动量守恒定律，得： e
? ?
'
??
??? ? Mv ? ? Mv ??'??mve '
????' m ? ' 1 由此得： ??v ????v ??ve ??
7300 M
2
2
ve '
?
…… (1)
1 11 ' 2 ' 2 又根据能量守恒定律，得： Mv ?2?? Mv ?? mv ? e
2
2
v? ? v? '
2
??
m
M
ve '
2
……（2）
将（1）式代入（2）式，得：
?? ??2' 2 '
v2 ? v? 7300 (v ? v ) ? ??? ??
整理，得：v??(7300 ? 1) ? v??(7300 ? 1) ? 2 ? 7300 v v? ? 0 ? cos ??
2
' 2
'
? 7300 ? 1
? ??2
? 上式可写为： 7300（ v ?? ? v ' ??) ? 0 ? ??? v ?? ? v ' ??? 0
即?粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。
1.7 能量为 3.5 兆电子伏特的细?粒子束射到单位面积上质量为1.05 ?10 公斤 / 米的银箔上，?粒子与银箔表面成 60角。在离 L=0.12 米处放一窗口面积为 6.0 ?10 米
?
?5
2
?2 2
的计数器。测得散射进此窗口的? 粒子是全部入射?粒子的百万分之 29。若已知银的原子
量为 107.9。试求银的核电荷数 Z。
解：设靶厚度为t。非垂直入射时引起?粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚
20o
'
度t，而是t ? t/ sin 60，如图 1-1 所示。
因为散射到? 与? ? d? 之间d? 立体 角内的
粒子数 dn 与总入射粒子数 n 的比为：
60° , t ' ' ?
d n ? N td ??n
而d? 为：
2
(1)
60o t d ? ? (
1 2 ze 2 d ??
) ( 2 )
?4?? 0 Mv
sin 4 ?2
图 1.1
（2）
把（2）式代入（1）式，得：
1 2 ze 2 2 d??dn
) ( ……（3） ? Nt ( ) n 4??0 Mv 2 sin 4 ? ?2
2 ' 0 ' 0
式中立体角元d? ? ds/ L,t ? t/ sin 60? 2t/ 3,? ? 20
N 为原子密度。 Nt为单位面上的原子数， Nt? ?/ m
' '
Ag
?1
? ? (A / N ) Ag 0 ，其中?是单位
面积式上的质量；m Ag 是银原子的质量； AAg 是银原子的原子量； N0 是阿佛加德罗常数。
将各量代入（3）式，得：
2
dn 2 ?N 0 1 2 ze 2 d????( ) ( )
? ?n 4 ?? 0 Mv 2 3 A Ag
sin 4
2
由此，得：Z=47
1.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为
10?10 米的球形原子内，如果有能量为106 电子伏特的?粒子射向这样一个“原子”，试通过
计算论证这样的?粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于 90的散射。这个
0
结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影 响可以忽略）。 解：设? 粒子和铅原子对心碰撞，则? 粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有 下式决定：
1
Mv2 ? 2Ze 2 / 4?? R ?10 ?16 焦耳 ? 2.36 ?103电子伏特 0 ? 3.78 2
由此可见，具有10电子伏特能量的?粒子能够很容易的穿过铅原子球。?粒子在到达原子
6
表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：
2 2 3
F ? 2Ze 2 / 4?? R。可见，原子表面处? 粒子所受的斥力最大，越 0 和F ? 2Ze r/ 4?? R 0
靠近原子的中心?粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使?粒子发生散射最强的垂 直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设?粒子擦原子表面而过。此时受 力为 F ? 2Ze / 4?? R粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作 0 。可以认为? 用，即作用距离为原子的直径 D。并且在作用范围 D 之内，力的方向始终与入射方向垂直， 大小不变。这是一种受力最大的情形。
根据上述分析，力的作用时间为 t=D/v, ?粒子的动能为 Mv ? K ，因此，
2
2
1
2
2
v ? 2K / M ，所以，t ? D/ v ? D M / 2K
根据动量定理： Fdt ? p ?? 0 p ??? Mv ???
0
?
t
0