内容发布更新时间 : 2024/5/18 17:04:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

典型例题一

例1 简述下列问题的结论，并画图说明：

（1）直线a?平面?，直线b?a?A，则b和?的位置关系如何？ （2）直线a??，直线b//a，则直线b和?的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：b??或b???A； （2）由图（2）可知：b//?或b??．

说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．

典型例题二

例2 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC//平面BDQ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．

证明：如图所示，连结AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO?CO，连结OQ，则OQ在平面BDQ内，

且OQ是

?APC的中位线，

∴PC//OQ． ∵PC在平面BDQ外， ∴PC//平面BDQ．

说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？

由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：

过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

典型例题三

例3 经过两条异面直线a，b之外的一点P，可以作几个平面都与a，b平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P点所在位置使得a，P（或b，P）本身确定的平面平行于b（或a）时，过P点再作不出与a，b都平行的平面；

（2）当P点所在位置a，P（或b，P）本身确定的平面与b（或a）不平行时，可过点P作a//a?，b?//b．由于a，b异面，则a?，b?不重合且相交于P．由于a??b??P，a?，b?确定的平面?，则由线面平行判定定理知：a//?，b//?．可作一个平面都与a，b平行．

故应作“0个或1个”平面．

说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．

典型例题四

例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线a//b，a//平面?，b??． 求证：b//?．

证明：如图所示，过a及平面?内一点A作平面?． 设????c，

∵a//?， ∴a//c． 又∵a//b， ∴b//c．

∵b??，c??， ∴b//?．

说明：根据判定定理，只要在?内找一条直线c//b，根据条件a//?，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面?与?相交，我们常把平面?称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．

和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．

典型例题五

例5 已知四面体S?ABC的所有棱长均为a．求： （1）异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长； （2）异面直线EF和SA所成的角．

分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可

SC、AB采取平移

构造法求解．

解：（1）如图，分别取SC、AB的中点E、F，连结SF、CF． 由已知，得?SAB≌?CAB． ∴SF?CF，E是SC的中点， ∴EF?SC．

同理可证EF?AB

∴EF是SC、AB的公垂线段．

在Rt?SEF中，SF?∴EF?SF2?SE2

13a，SE?a．

2232122a?a?a． 442（2）取AC的中点G，连结EG，则EG//SA．

∴EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角． 连结FG，在Rt?EFG中，EG?由余弦定理，得

112a，GF?a，EF?a． 222122212a?a?aEG?EF?GF444?2． cos?GEF??2?EG?EF2122?a?a22222∴?GEF?45．

故异面直线EF和SA所成的角为45．

说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求

值．

??典型例题六

例6 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．

已知：直线a//?，B??，B?b，b//a． 求证：b??．

分析：由于过点B与a平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面?外，不存在过B与a平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．