第1章 数学建模与误差分析 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/11/1 6:50:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

??n?????x*???x?? (1.6.7) ???xi?????j?i????i?1?i?1??j?1????j?i??nn?n?n*和 ???xi????r?xi? (1.6.8)

?i?1?i?1*r因此,近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的代数和。

?n?当乘数x的绝对值很大时,乘积的绝对值误差???xi?可能会很大,因此

?i?1?*i也应设法避免。

(3)除法运算

由(1.6.3)及(1.6.4)有

**?x1?1x1x1** ????*??x1???x?[?x???????x2?] (1.6.9)2r1r2**x2?x2?x2?x2??x?和 ?r*?1???r*?x1???r*?x2? (1.6.10)

x?2?由(1.6.10)可知,两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相

对误差之差。

?x?*又由(1.6.9)可知,当除数x2的绝对值很小,接近于零时,商的绝对误差??1?

?x2?

可能会很大,甚至造成计算机的“溢出”错误,故应设法避免让绝对值太小的数作为除数。

(4)方及开方运算

由(1.6.3)及(1.6.4)有

??xp??p?x*?p?1??x? (1.6.11)

及 ?r*?xp??p?r*?x? (1.6.12) 由(1.6.12)可知,乘方运算将使结果的相对误差增大为原值x的p(乘方的方

1次数)倍,降低了精度;开方运算则使结果的相对误差缩小为原值x的(q为

q开方的方次数),精度得到提高。

综上分析可知,大小相近的同号数相减,乘数的绝对值很大,以及除数接近于零等,在数值计算中都应设法避免。

1.6.3 算式误差实例分析

应用上述误差估计的公式,可对例1.3.1中提出的各种算式作出误差估计和分析,从而可以比较出它们的优劣来。结果见表1.6.1。

表1.6.1 四种算式的误差比较表 序号 近似值 真 值 绝对误差 相对误差 7?1?0.4 51 2?1 0.0142 0.000955 -0.995 -0.00245 0.0355=3.55% 6×0.0355=21.3% -0.995=-99.5% -0.00589=-0.589% ?7???1??0.00409 ?5?2 6(2?1)6 99?702 1 2?1?1????2?1?699?70?7?1 517?153 6?0.416667 ???1??7??0.00523278 ??1??5? -0.000182 -6×0.00589=-3.53% 14 799?70?5?0.00507614 1 99?702-0.0000255 -0.0502=-0.502% 习 题1

1.下列各数都是对真值进行四舍五入后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数:

*****(1)x1?8?105 ?0.024(2)x2?0.4135(3)x3?57.50(4)x4?60000(5)x5xn2.如用级数e??来求e?5的值,为使相对差?10?3,问至少需取几项?

n?0n!x?3.用观测恒星的方法求得某地纬度??45?0?2??(读到秒), 问计算sin?将有多大误差?

4.正方形的边长约为100厘米,问测量时误差最多只能到多少,才能保证面积的误差不超过1平方厘米?

5. 已测得直角三角形的斜边c?58?0.2毫米,一直角边a?25?0.1毫米,如图所示。试计算?A的近似值,并估算出其绝对误差和相对误差限。

6.已知y?p(x)?x2?x?1150,x?100*,x?33 3?100?***计算y?P??及y?P?33?,并求x和y的相对误差。

?3?7.求方程x2?40x?1?0的两个根,使它们至少具有四位有效数字(已知。 399?19.975)

8.设近似数x*的绝对误差为?,当分别计算下列两式时,问误差对计算结果的影响如何?

x*??x*??(1)y1?, (2)y2?

10000.0019.下列各题怎样计算才合理(即计算结果的精度高)? (1)1?cos1?(四位函数表求三角函数值); (2)ln(30?302?1)(开方用六位函数表);

1?cosx(其中充分小); sinxN?1dx(4)?(其中N充分大); 2N1?x(3)

10.下面计算y的公式中,哪一个算得更准确些?为什么?

11?x2x2?(1)已知x??1: (a)y?, (b)y?; 1?2x1?x(1?2x)(1?x)(2)已知x??1:(a) y?2?11?x?x??x??xx??,(b)y?x?11?x?; xx1?cos2x2sin2x(3)已知x??1:(a)y?,(b)y??;

xx(4)已知p?0,q?0,p??q:(a)y?q2(p?p2?q2),(b)y??p?p2?q2; 11.设p?0,q?0,p??q,计算:y??p?p2?q2 算法(1):s?p2,t?s?q,u?t,y??p?u;

q算法(2):s?p2,t?s?q,u?t,v?p?u,y?.

v试分析上述两种算法的好坏。 12.用四位尾数浮点数计算?i?1201,要求分别按递增顺序和按递减顺序相加,所得2i结果不同,为什么?哪个更接近真值?