内容发布更新时间 : 2024/5/5 7:45:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
∴PA?平面ABCD,
（2）∵AB//CD
∴?PDC为异面直线AB与PD所成的角或其补角, ∵PA?平面ABCD,DC?CB?则AD?22?22?22 ∴在Rt?PAD中,PD?1AB?2,PA?2. 2PA?AD?2?22222??2?23, AC?AB2?BC2?42?22?25,
∴PC?PA?AC?2?25222??2?26
∴在?PDC中,由余弦定理可得
CD2?PD2?PC24?12?243∴cos?PDC? ???2?CD?PD383???因为异面直线夹角的范围为?0，?
?2?∴异面直线AB与PD所成角的余弦值为【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,余弦定理在解三角形中的应用,注意异面直线夹角的范围,属于基础题.
18．已知抛物线E:y?2px?p?0?的焦点F，E上一点坐标为?1,2?.
23. 3（1）求抛物线E的方程；
（2）过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为?1，求直线l的方程.
2【答案】（1）y?4x；（2）2x?y?2?0.
【解析】（1）将点坐标代入解析式,求得p的值,即可求得抛物线方程.
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（2）方法一:设点A?x1,y1?,B?x2,y2?,根据中点纵坐标即可利用点差法求得直线的斜率,由点斜式即可求得直线方程;方法二,设出直线方程,联立直线方程与抛物线方程,根据韦达定理和中点的纵坐标,即可求得直线方程. 【详解】
（1）把?1,2?代入抛物线方程 解得P?2
∴E的方程为y2?4x.
2（2）法一：由（1）得抛物线E的方程为y?4x,焦点F?1,0?
设A,B两点的坐标分别为A?x1,y1?,B?x2,y2?,代入抛物线可得
?y12?4x1y2?y14??x1?x2? ,两式相减,整理得则?2x2?x1y2?y1?y2?4x2∵线段AB中点的纵坐标为?1 ∴直线l的斜率kAB?44???2
y2?y1??1??2直线l的方程为y?0??2?x?1?即2x?y?2?0
2法二：由（1）得抛物线E的方程为y?4x,焦点F?1,0?
设直线l的方程为x?my?1
?y2?4x2由?消去x,得y?4my?4?0 ?x?my?1设A,B两点的坐标分别为A?x1,y1?,B?x2,y2?, ∵线段AB中点的纵坐标为?1 ∴
y1?y2???4m????1 22解得m??1 21y?1即2x?y?2?0 2直线l的方程为x??【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系,点差法求直线方程的应用,韦达定理及中点坐标公式的用法,属于基础题.
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19．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，满足列.
（1）求数列?an?的通项公式； （2）求数列?S4S31??，且a1，a3，a9成等比数432?an?nTan?的前项和n.
?2?【答案】（1）an?n；（2）Tn?2?【解析】（1）根据
2?n. n2S4S31??,且a1,a3,a9成等比数列可分别求得等差数列的公差和首432项,即可求得数列?an?的通项公式. （2）先求得数列?【详解】
（1）∵等差数列?an?满足
?an?nTan?的通项公式,进而利用错位相减法即可求得前项和n.
2??S4S31?? 4322?a2?a3?3a21?? 432化简可得a3?a2?1,即等差数列的公差为d?1 又∵a1,a3,a9成等比数列,
2所以a3?a1a9,即?a1?2??a1?a1?8?,解得a1?1,
2所以an?a1??n?1?d?n.
?an?an?1?（2）数列?an?的通项公式为an?n?n??? ?2?2n2?2?n?1??1??1??1?则Tn?1????2????3????K?n??? ?2??2??2??2?1?1??1??1??1?Tn?1????2????K??n?1?????n???2?2??2??2??2?123n23nn?1123n
n?11?1??1??1??1??1?两式相减得Tn??????????K????n???2?2??2??2??2??2?
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1?1????12?2?所以Tn?121?2所以Tn?2?【点睛】
n?1?1??n????2?n?1?1?1n. ?2n2n?12?n. 2n本题考查了等差数列通项公式的求法,等比数列通项公式的应用,错位相减法求和的应用,属于中档题.
20．已知圆心在y轴上的圆C经过点S?3,3，截直线y?5所得弦长为23，直线?l:ax?y?2a?0.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，?ABC的面积最大. 【答案】（1）x2??y?4??4；（2）a??7或a??1. 【解析】（1）根据圆心在y轴上设出圆的方程,将点S2?3,3带入,结合垂径定理即可得
?关于b和r的方程组,解方程组求出b和r即可得圆的方程.
（2）先利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离的表达式,再由垂径定理表示AB的长度,即可表示出?ABC的面积,结合基本不等式即可求得当面积取最大值时a的值. 【详解】
（1）设圆C的方程为：x2??y?b??r2, 把
2?3,3代入得3??3?b??r2,①
?2又∵圆C截直线y?5所得弦长为23 ∴?b?5??2?3?2?r2②
联立①②解得b?4,r=2 ∴圆C方程为：x2??y?4??4
（2）圆心C到直线l:ax?y?2a?0的距离d?24?2aa?12
AB?24?d2
1d2?4?d22由S?ABd?d?4?d??2
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此时d?4?d2即d?解得a??7或a??1
2时等号成立
则当a??7或a??1时?ABC的面积最大. 【点睛】
本题考查了圆的标准方程求法,直线与圆相交的性质及应用,点到直线距离公式的应用,属于基础题.
21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM?平面ABCD，?DAB?60o，AD?2，AM?1，E为AB的中点．
（1）求证：AN∥平面MEC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P?EC?D的大小为
?？若存在，求出3AP的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）
? 3【解析】?I?利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN//EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN//平面MEC；
?II?对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面
角P?EC?D的大小为标法进行求解判断． 【详解】
?．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐3?I?CM与BN交于F，连接EF．
由已知可得四边形BCNM是平行四边形， 所以F是BN的中点． 因为E是AB的中点， 所以AN//EF．
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
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