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对数换底公式

江苏省常州高级中学 陈玉凤

对数公式（二） 证明：换底公式 logab?logcb logca（由脱对数?取对数引导学生证明） 证明：设logab?x，则a?b

两边取c为底的对数，得：logcax?logcb?xlogca?logcb

x?x?logcblogcb，即logab?

logcalogca注：公式成立的条件：a?0,a?1,b?0,c?0,c?1；

1. 公式的运用：

利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法；

例题1：求log89?log2732的值； 分析：利用换底公式统一底数； 解法（1）：原式=

lg9lg322lg35lg210???? lg8lg273lg23lg39解法（2）：原式=

log29log2322log23510???? log28log22733log239例题2：计算

log52?log4981的值

1log25?log7343分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；

1lg24lg3??2lg52lg7??3 解：原式=

?lg32lg2?2lg53lg72. 由换底公式可推出下面两个常用公式：

（1）logab?1

logba（2）loganbm?mlogab n并应注意其在求值或化简中的应用： 3. 求证：logxy?logyz?logxz

分析（1）：注意到等式右边是以x为底数的对数，故将logyz化成以x为底的对数； 证明：logxy?logyz?logxy?logxz?logxz

logxy分析（2）：换成常用对数 证明：（略）

注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如：

lgz?logxz就是换底公式的逆用； lgx4. 已知log189?a,18b?5，求log3645的值（用a，b表示）

分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；

解：log189?a,log185?b ，一定要求log182?1?a

log3645?5. 强化练习

log1845log189?log185a?b ??log18361?log1822?a（1）lg5?lg2?lg50 （2）log22111?log3?log5 2589（3）(log2125?log425?log85)(log52?log254?log1258) （4）已知log1227?a，试用a表示log616； 6.

归纳小结，强化思想

1． 对数运算性质

（1）loga(MN)?logaM?logaN （2）logaM?logaM?logaN Nn（3）loga(N)?n?logaN

2． 换底公式：logab?logcb logca3． （1）logab?（2）loganbm1

logba?mlogab n4． 利用换底公式“底数化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值

或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意： （1）针对具体问题，选择好底数；

（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用； （3）换底公式的正用与逆用；

7．补充： （1）log26?lg127?lg 81252（2）log48?log13?log91 4（3）已知log147?a,14?5，求log3528

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