广东理科2007年普通高等学校招生全国统一考试(高考数学试卷) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/11/1 7:18:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

76543210012产量

(2)

能耗345i?1?xiyi=3?2.5+4?3+5?4+6?4.5=66.5

nx=

3?4?5?6=4.5

42.5?3?4?4.5y==3. 5

4n2i?1?xi=3+42+5+6222=86

??66.5?4?4.5?3.5?66.5?63?0.7 b86?4?4.5286?81??3.5?0.7?4.5?0.35 ??Y?bXa故线性回归方程为y=0.7x+0.35

(3)根据回归方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7?100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)

18. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.y2椭圆2?=1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.

9a(1)求圆C的方程.

(2)试探安C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

x2

【命题意图】考查考查圆的位置关系和圆锥曲线的基本概念的理解

【参考答案】(1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则

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m?n2=22

即m?n=4 ①

又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 m2+n2=8 ②

联立方程①和②组成方程组解得

?m??2 ??n?2故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2)a=5,∴a2=25,则椭圆的方程为

x225+

y92=1

其焦距c=25?9=4,右焦点为(4,0),那么OF=4。

要探求是否存在异于原点的点Q,使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4,我们可以转化为探求以右焦点F为顶点,半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。

124,y= 55412即存在异于原点的点Q(,),使得该点到右焦点F的距离等于OF的长。

55通过联立两圆的方程解得x=

19. 如图6所示,等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3,点B是线段BD

上异于点B、D的动点.点F在BC边上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折

起到△PEF的位置,使PE⊥AE.记

BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积. (1)求V(x)的表达式; (2)当x为何值时,V(x)取得最大值? 图6 (3)当V(x)取得最大值时,求异面直线AC与PF所成角的余弦值 【命题意图】考查棱锥的体积的求法,函数的极值和空间直线的关系

【参考答案】(1)已知EF?AB,那么翻折后,显然有PE?EF,又PE?AE,从而PE?面ABC,即PE为四棱锥的高。

四棱锥的底面积S=

S?ABC-S?BEF

2而△BEF与△BDC相似,那么

S?BEF则S=

=

(x36)S?BDC=(x36108ABCxS?ABC= )S?210822S?ABC21xS?ABC-=(1-x)??6

210826?3=96(1-

x2108)

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11故四棱锥的体积V(x)=SH=?96(1-x)??=36?(1-x)(0

33108108(2) V’(x)= 36-

2262 x(0

当x∈(0,6)时,V’(x)>0,V(x)单调递增;x∈(6,36)时V’(x)><0,V(x)单调递减;因此x=6时, V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=126 (3)过P作PQ∥AC交AB于点Q 那么△PQF中 PF=FQ=42 而PQ=62

1进而求得cos∠PFQ=

7

1故异面直线AC与PF所成角的余弦值为

720. 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围。 【命题意图】考查函数的综合运用

【参考答案】当a=0时,函数为f (x)=2x -3,其零点x=当a≠0时,函数f (x) 在区间[-1,1]分为两种情况: ①函数在区间[─1,1]上只有一个零点,此时 ???4?8a(?3?a)?0? ?f(?1)f(1)?(a?5)(a?1)?0

3不在区间[-1,1]上。 2???4?8a(?3?a)?0?或? 1?1???1?2a?解得1≤a≤5或a=

?3?7 2

②函数在区间[─1,1]上有两个零点,此时

a?0a?0?????8a2?24a?4?0???8a2?24a?4?0????11 ? 或? ?1???1?1???12a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????第 8 页 共 10 页

解得a?5或a<

?3?7 2综上所述,如果函数在区间[─1,1]上有零点,那么实数a的取值范围为

?3?7(-∞, ]∪[1, +∞)

′21. 已知函数f(x)=x2+x-1,α、β是方程f(x)=0的两个根(α>β).f(x)是f(x)的导数.设a1=1,

f(an)an+1=an-(n=1,2,…)。 f?(an)(1)求α、β的值;

(2)证明:任意的正整数n,都有an>a;

a??(3)记bn-lnn(n=1,2,…),求数列{bn}的前n项和Sn。

an??【命题意图】考查数列应用

【参考答案】(1)解方程x2+x-1=0得x=

2?1?5 2

由>β知=

?1?5?1?5,β= 2222(2) f’ (x)=2x+1 ??11n = nn ? = - nn?12n?12n?1

下面我们用数学归纳法来证明该结论成立

aaaaaaa①当n=1时,a1=1<

?1?5=成立, 2②假设n=k(k≥1, k∈N*)时,结论也成立,即ak

③那么当n=k+1时,

?115111115ak==-+<-+=+??ak?12?12ak44(2?1)244(2??1)22?=? akak

这就是说,当n=k+1时,结论也成立,故对于任意的正整数n,都有an

2an?1??2an?12an?1??2an?12an?2?an???122an?2?an??2222第 9 页 共 10 页

?2????1aan?2?an??ann

an?1??= an?1??

= =

??an=()

??an2

由题意知an>?,那么有an>β,于是对上式两边取对数得

??????aaan?1nnln=ln()=2 ln()

??????an?1anan2

?1?53?52即数列{bn}为首项为b1= ln()=2ln( ),公比为2的等比数列。 2?1?51?21?故其前n项和

3?51?Sn=2ln( )

n221?2=2ln( )(2n -1)

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