内容发布更新时间 : 2024/11/1 7:27:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二章 一元函数微分学
第一节 导数的概念
教学目的:掌握导数的概念,会用导数的定义求函数的导数,会用导数描述一些实际问题的
变化率。
教学重点、难点:导数概念,会用导数的定义求函数的导数,用导数描述一些实际问题的
变化率。
教学形式:多媒体教室里的讲授 教学时间:90分钟 教学过程
一、引入新课
微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。 在自然科学的许多领域中,当研究运动的各种形式时,都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度,如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等,而当物体沿曲线运动时,还需要考虑速度的方向,即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。 二、新授课
1.导数概念实例
( 1)、变速直线运动的瞬时速度问题
设动点M作变速直线运动,其经过的路程s是时间t的函数,即s?s(t),求它在时刻
t0的瞬时速度。
如右图所示,假定在某一瞬时t0,动点的M位置是s0?s(t0),而经过极短的时间间隔?t后,即在瞬时t0??t,动点的位置到达s?s(t0??t),于是动点M在时间间隔?t内所走过的路程是:
△ss0s?s?s?s0?s(t0??t)?s(t0),
动点M在?t这段时间内的平均速度v为
?ss(t0??t)?s(t0)v??
?t?t由于时间间隔?t较短,它可以大致说明动点M在t0时刻的速度,且时间间隔?t取得
越小,这段时间内的平均速度愈接近t0时刻瞬时速度。若令?t趋于零,则极限值
s(t??t)?s(t0)lim0精确地反映了动点在t0时刻的瞬时速度 。 ?t?0?t?slims(t0??t)?s(t0)? v(t0)?lim?t?0?t?0?t?t(2)、切线问题
割线的极限位置——切线位置(附:Flash说明)
如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线。
极限位置即
设
割线MN的斜率为
。
,
,,
切线MT的斜率为 。
2.导数的定义
上面讨论的两个实例,虽然是不同的具体问题,但是它们在计算时都归结为如下的 极限:
?x?0limf(x0??x)?f(x0)
?xf(x0??x)?f(x0)?y?是函数的增量与自变量的增量之比,表示函数的平均变化率。
?x?x定义:设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量在x0取得增量?x时,相应地函数y取得的增量?y?f(x0??x)?f(x0)。
f(x0??x)?f(x0)?y?lim若极限lim存在,则函数f(x)在点x0处可导,并称此
?x?0?x?x?0?x极限值为函数y?f(x)在点x0的导数,记为:
其中
f'(x0) y'|x?x0即
dydf(x) |x?x0 或 |x?x0
dxdx
其他形式 ;
关于导数的说明: ①点导数是因变量在点
程度。
② 如果函数导。
③ 对于任意
。
处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢
在开区间内可
在开区间内的每点处都可导,就称函数
都对应着一个确定的导数值。这个函数叫做原来函数的导
函数记作,,或。 即
或
注意:1).
。
。
2).导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数。
3.由定义求导数
步骤:(1)求增量 (2)算比值
; ;
(3)求极值 。
根据导数的定义求导具有固定的步骤,可以利用Mathematica的Limit[ ]语句计算,步骤如下:
1> 定义函数
f[x_]?函数表达式
2> 根据定义求导
Limit[(f[x?h]?f[x])/h,h?0 ]
例1 设圆的面积为A,半径为r,求面积A关于半径r的变化率。 解(1):
1> 面积关于半径函数关系为 A(r)??r;
2> 圆半径r的增量?r,则圆面积的增量为?A??(r??r)2??r2; 3> 圆面积的平均变化率为
2?A; ?r4> 面积A对半径r的变化率为
?A?(r??r)2??r2A'(r)?lim?lim?r?0?r?r?0?r 22?r(?r)??(?r)?lim?lim?(2r??r)?2?r?r?0?r?0?r解(2):用Mathematica求解
例2 求函数解(1):
(C为常数)的导数。
。
即
。
解(2)用Mathematica求解
课堂练习 P45 第5题
例3 根据导数的定义求y?x的导数,其中n为正整数 。
n